資料是人工智慧（AI）、機器學習（ML）和深度學習（DL）的基石。在這些領域中，線性代數 (Linear Algebra)、機率 (Probability) 和微積分 (Calculus) 則扮演著重要的角色，它們是這些領域的共同語言。在線性代數中，向量 (Vector) 與矩陣 (Matrix) 是最受關注的兩個數學實體，因為它們是現代機器學習與深度學習中的基本元素“張量 (Tensor)”的簡化版本。
.
要瞭解什麼是向量 (Vector)，我們必須先明白什麼是純量 (Scalar)。在數學中，純量 (Scalar) 是指用來定義向量空間域的一個元素，通常被稱為不具方向性的物理量，例如：質量、溫度、時間、壓力和速率等。向量 (Vector) 則是由二個以上的純量所組成，既有大小又具有方向性的物理量。例如：力、位移、速度、加速度等。在線性代數中，向量空間中的元素（如實數）被稱為「純量」，透過純量乘法與向量空間中的向量相關聯。這樣，一個空間中的向量，可透過乘法來得到位於相同向量空間的另一個向量。
向量 (Vector) 屬於向量空間 (Vector Spaces) 的成員，它可以被認定為特定維度的所有可能向量的集合。在 ML 和 DL 中，向量空間通常被稱為特徵向量，用於在數學上代表一個物體的數值或符號特徵（也就是所謂的 Features）。許多人可能熟悉的特徵向量例子是代表色彩組成的 RGB（紅-綠-藍）調色板。這個特徵向量可以依據它們所包含的紅、綠、藍的數量來描述不同的顏色。特徵向量在 ML 和 DL 中被廣泛使用，因為它們提供了一種有效且實用，以數值表示資料物件的方法。
矩陣 (Matrix) 是由一組被稱為元素 (Elements) 或元 (Entries) 的數字所組成，按照行或列排列的一個陣列 (Array)，也稱為複數矩陣 (Plural Matrices)。在數學中，我們可以對矩陣進行基本的運算，例如對相同行列大小的矩陣進行加減法運算、將一個矩陣與另一個矩陣相乘（前提是矩陣大小相容），以及將整個矩陣同乘上一個常數等等。此外，矩陣還可以用來表達與處理多個線性方程式，並且由於矩陣允許單一行或一列的存在，因此像向量這樣的物理量也可以算是一個矩陣，同樣適用數學上對矩陣運算的規則。下圖為一個利用矩陣表達兩個線性方程式的例子：
在數學領域中，張量 (Tensor) 是一種代數物件 (Algebraic Object)，用於描述向量空間的代數物件集合之間的多線性關係。張量對應的代數物件可以包括向量 (Vector)、純量 (Scalar) 和其他張量 (Tensor) 等，簡單來說，張量是一個可以容納多維資料的容器，它們具備一個順序 (Order) 或排名 (Rank)，這個順序或排名決定了表示張量所需的矩陣維度數量（Rank 的正式名稱為矩陣秩，代表最大的線性獨立行或列向量集合所包含的向量數）。具體來說，純量可視為是一個零維（0-D）的張量，其秩為 0；向量是一個一維（1-D）的張量，其秩為 1；矩陣是一個二維（2-D）的張量，其秩為 2。一般來說，為了避免混淆，“張量 (Tensor)”一詞通常用來表是具有三維或更高維度的張量 (Tensor)。
儘管張量經常被認為是一個從零到 N 維的廣義矩陣 (Generalized Matrix)，但實際上它是一個數學實體 (Mathematical Entity)，可以在結構中與其他數學實體互動。當一個結構中的其他實體以規律的方式改變時，張量必須遵循相應的變換規則。換言之，張量可以被視為一個團隊中的成員，當影響整個團隊的變換發生時，代表單一成員的數值會隨著其他成員一起轉移。
那麼，我們要如何將張量的概念套用在 ML 和 DL 領域中呢？延續前面的課程，我們可以理解，要實作 AI、ML 和 DL 不能沒有資料，而現實生活中的資料通常以多維度的方式呈現。因此，張量的概念可以透過對多維資料的編碼而輕易地被應用於 ML 和 DL 模型中。例如，您如果可以理解一張圖片是由三個不同欄位表示：寬度、高度和深度（或顏色），就不難想像這張圖片可以被編碼為一個三維的張量。然而，ML 和 DL 模型通常需要處理數以萬計的圖像，因此，可做為第四維度的“樣本大小 (Sample Size)”就顯得格外重要。正如您在上圖中看到的，我們可以將一系列的圖像儲存在一個四維張量（4-D Tensor）中，這個四維張量基本上是一個立方體的向量，這種表示方法讓需要分析大量圖像資料的問題變得更加簡單易解。
值得一提的是，一種稱為影像處理單元（GPU）的專門電子電路，在執行矩陣數學運算方面具有卓越表現。GPU 的設計目的是快速操作和改變儲存在記憶體中的物件，以便快速在圖像緩衝區 (Frame Buffer) 中建立圖像，然後將其作為輸出發送到顯示裝置中。因此，GPU 非常適合用來加速 ML 和 DL 矩陣數學運算，以縮短處理時間。
7.人工智慧、機器學習、深度學習的定義 《 上一堂課 ∣ 下一堂課 》 9.機器（深度）學習工作流程
人工智慧 28 堂基礎入門課程，完整目錄連結：
版權聲明
人工智慧 28 堂基礎入門課程系列文章係依據 IBM 原廠英文教材進行適度翻譯與內容調整而成，每一門課程使用的主圖片其版權歸屬於 IBM 公司。文章內容未經授權，請勿進行任何形式的複製、修改或發佈本文內容，如需轉載或引用，請在使用時注明出處並取得授權。本文中提及的特定公司、產品、品牌名稱等僅為描述目的，其版權歸屬於相應的公司或擁有者。
沒有留言:
張貼留言